Matematika

Matematické disciplíny

Hlavní klasické disciplíny matematiky se vyvinuly ze čtyř praktických lidských potřeb – potřeby počítat při obchodování, porozumět vztahům mezi číselně vyjádřenými množstvími, vyměřování pozemků a staveb a předpovídání astronomických jevů. Z těchto čtyř potřeb vznikly čtyři klasické matematické disciplíny – po řadě aritmetika, algebra, geometrie a matematická analýza, které se zabývají zhruba řečeno čtyřmi základními oblastmi zájmu matematiky – kvantitou,strukturou, prostorem a změnou. Později se díky snahám zastřešit tyto čtyři disciplíny jednotnou matematickou teorií a dosáhnout co největší přesnosti a nezpochybnitelnosti výsledků rozvinulo několik vzájemně provázaných disciplín nazývaných souhrnně základy matematiky. Tyto disciplíny kromě výše zmíněného umožnily také hlubší propojení matematiky s filozofií či rozvoj teoretické informatiky. Ve 20. století zaznamenaly ohromný rozvoj disciplínyaplikované matematiky, které slouží jako důležité nástroje v nejrůznější oborech lidské činnosti.

Kvantita

Studium kvantity je vůbec nejstarší oblastí matematiky. Jeho počátky se objevují již v pravěku, kdy dochází k porozumění pojmu přirozeného čísla. Postupem času následuje vytváření základních aritmetických operací a rozšiřování číselného oboru přes čísla celá, racionální, reálná a komplexní až k různým specializovaným číselným oborům jako jsou hyperkomplexní čísla, kvaterniony,oktoniony, ordinální a kardinální čísla nebo surreálná čísla.

I v teorii přirozených čísel zůstává dosud mnoho snadno formulovatelných otevřených problémů, např. hypotéza prvočíselných dvojic nebo Goldbachova hypotéza. Zřejmě nejslavnější problém celé matematiky, velká Fermatova věta, byl vyřešen v roce 1995 po 350 letech marných pokusů.

Struktura

Mnoho matematických objektů jako množiny čísel či funkcí vykazují jistou vnitřní strukturu. Abstrahováním některých z těchto strukturálních vlastností vznikly pojmy grupa, okruh, těleso a další. Studiem těchto abstraktních konceptů se zabývá algebra. Její důležitou součástí je lineární algebra, která se zabývá studiem vektorových prostorů, jež v sobě kombinují tři ze čtyř okruhů zájmu matematiky – kvantitu, strukturu a prostor. Diferenciální a integrální počet přidává k těmto třem okruhům i čtvrtý – změnu.

Prostor

Studium prostoru začíná v matematice již ve starověku geometrií – konkrétně euklidovskou. Trigonometrie přibírá do hry fenomén kvantity. Základním tvrzením této kvantitativní geometrie je Pythagorova věta. V pozdějších dobách dochází k zobecňování směrem k vícedimenzionálním prostorům, neeuklidovským geometriím a topologii. Uvažováním v kvantitativních sférách se dostáváme k analytické,diferenciální a algebraické geometrii. Diferenciální geometrie se zabývá studiem hladkých křivek a ploch v prostoru, algebraická pak geometrickou reprezentací množin kořenů polynomů víceproměnných. Topologické grupy v sobě kombinují fenomény prostoru a struktury, Lieovy grupy přidávají navíc ještě změnu.

Změna

Pochopení a popis změny je základní snahou přírodních věd. Mocným nástrojem k uchopení fenoménu změny je kalkulus matematické analýzy, který využívá konceptu funkce. Studiem funkcí na oborureálných čísel se zabývá reálná analýza, obdobnou disciplínou pro komplexní případ je komplexní analýza. Její součástí je pravděpodobně nejslavnější i nejtěžší nevyřešený problém současné matematiky – Riemannova hypotéza. Funkcionální analýza se zabývá studiem přirozeně vznikajících prostorů funkcí, jednou z mnoha aplikací tohoto oboru je kvantová mechanika. Pomocídiferenciálních rovnic je možné studovat problematiku změn kvantitativních veličin. Vysoce složité přírodní systémy slouží jako inspirace pro studium dynamických systémů a teorie chaosu.