Trojúhelník
Trojúhelník je mnohoúhelník, který má přesně tři strany. Tyto strany označujeme malými písmeny, klasicky a, b, c. Trojúhelník má taktéž tři vrcholy, které značíme velkými písmeny, klasicky A, B, C. Strana a poté odpovídá úsečce BC, strana b úsečce AC a strana c úsečce AB. Strana a je vždy naproti vrcholu A, obdobně pro ostatní strany. U každého vrcholu můžeme nalézt jeden úhel, říká se jim vnitřní úhel (vnější úhel by byl u toho samého vrcholu, ale vně trojúhelníka) označují se postupně alfa, beta a gama. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy 180. U každého trojúhelníku musí platit, že součet délek dvou libovolných stran musí být větší než strana třetí. Pokud máte například trojúhelník s délkami stran 3, 4, 5, tak zde to platí. 3 + 4 > 5 a stejně tak pro zbylé dvě kombinace. Pokud byste chtěli narýsovat trojúhelník s délkami stran 1, 2, 4, nepovedlo by se vám to, protože jedna plus dvě není větší než čtyři.
Trojúhelníků může být více typů. Existuje ostroúhlý trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly menší než devadesát stupňů. Tupoúhlý trojúhelník má jeden úhel větší než devadesát stupňů. Nakonec máme pravoúhlý trojúhelník, který má právě jeden úhel o velikosti devadesát stupňů (úhel o velikosti devadesát stupňů se nazývá pravý úhel).
Dále můžeme trojúhelník rozdělit na rovnostranný, rovnoramenný a obecný. Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejně dlouhé a úhel u vrcholů vždy svírá šedesát stupňů. Rovnoramenný trojúhelník má pouze dvě stejné strany, třetí je již jinak dlouhá. Obecný trojúhelník má všechny tři strany různě dlouhé.
Jak narýsovat trojúhelník
Známe-li délky všech tří stran, je narýsování trojúhelníku docela hračka. Vybereme si jednu ze stran, třeba AB, a narýsujeme ji jako normální úsečku. Poté musíme zjistit, kde se nachází třetí bod. To se udělá jednoduše, vezme se kružítko, zapíchne se do bodu B a opíše se kružnice o délce strany BC, třeba pět centimetrů. Tím zjistíme, kde všude by se mohl nacházet bod C, aby byl od bodu B vzdálen právě pět centimetrů. Poté to samé uděláme se stranou AC a bodem A. Nyní máme dvě kružnice a jejich průsečík nám udává bod, který má od vrcholu A vzdálenost určený počet centimetrů a od bodu B taktéž. Vše si můžete prohlédnout na následující animaci:
Výška strany trojúhelníku
Každá strana trojúhelníku má svou výšku, která se definuje jako kolmice z protějšího bodu na určenou stranu. Pokud by ona kolmice neprotínala přímo stranu, musíme stranu protáhnout až do míst, kde se protne s kolmicí. Základní vlastnost výšky tedy je, že je kolmá na stranu, ke které patří. Toho se často využívá při početních úlohách, neboť můžeme použít Pythagorovu větu. Výška na stranu C se obvykle zapisuje pomocí malého písmene v a v dolním indexu poté označení té strany, které výška přísluší. Tedy v našem případě vc. Pata kolmice (průsečík strany s kolmicí) se označuje podobně, akorát místo malého v napíšeme velké P: Pc.
Chceme-li narýsovat trojúhelník když známe dvě strany (AB a BC) a výšku jedné ze zadaných stran (vc), postupujeme takto. Nejprve narýsujeme stranu AB, poté narýsujeme přímku rovnoběžnou se stranou AB, která bude od strany AB vzdálena délkou výšky. Tím získáme všechny možné umístění vrcholu C tak, aby výška na stranu c měla právě zadanou délku. Teď už stačí jen vzít kružítko, vzít do něj délku strany BC, zabodnout do vrcholu B a opsat kružnici. Tam, kde kružnice protne přímku, se nachází vrchol C. Opět je připravena přehledná animace:
Těžnice trojúhelníku
Kromě výšky má každý trojúhelník ještě tři těžnice. Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol se středem protější strany. Všechny tři těžnice se protínají v jediném bodě, které se nazývá těžiště. Toto těžiště poté dělí těžnice vždy v poměru 2:1 - část těžnice před těžištěm je buď dvakráte menší anebo větší než druhá část za těžištěm. Těžnice se pojmenovávají malým písmenem t a s dolním indexem stany, ke které přísluší. Těžiště se pak obvykle pojmenovává jedním velkým písmenem T.
Pokud znáte dvě strany a těžnici k některé z těchto dvou stran, trojúhelník narýsujete velmi lehce. Začnete opět narýsováním strany AB a poté zjistíte, kde leží bod C tak, že uděláte dvě kružnice, první se středem v bodě B (nebo A, pokud znáte délku AC) a druhou se středem ve středu strany AB. Bod, kde se kružnice protnou, je hledaný bod C. Animace již myslím není potřebná, postup je stejný jako v první animaci, akorát namísto trojúhelníku ABC rýsujete nejprve trojúhelník ScBC, z kterého zjistíte hledaný vrchol C.
Jak narýsovat trojúhelník, známe-li a, c, tb
Nejprve si prohlédněte nákres, jak by to asi mělo vypadat:
Červeně vyznačené položky známe a podle nich máme narýsovat celý trojúhelník. Postup je následující – doplníme tento trojúhelník na čtyřúhelník a podle čtyřúhelníku již dorýsujeme zbytek. Jasně to vysvětluje následující obrázek (připomínám, že délka BD se rovná dvojnásobku délky tb).
Tenhle čtyřúhelník narýsujeme jednoduše. Nejprve narýsujeme trojúhelník ABD. Délku strany AB známe, délka strany BD je 2·tb a délka AD je stejná jako délka BC. Bod C nalezeneme buď tak, že si najdeme bod Tb, což je polovina úsečky BD a poté již jen narýsujeme polopřímku ATb a délka AC je délka 2·ATb. Druhá možnost je narýsovat přímku rovnoběžnou se stranou AB a bod C bude ležet na této přímce a bude od bodu D vzdálen |AB|. Daleko přehledněji to znázorňuje následující animace:
trjúhelník
(Petr, 11. 10. 2013 7:38)